Question

关于x的一元二次方程x＾2－x＋p－1＝0有两实数根x1、x2.

若［2＋x1（1－x1）］［2＋x2（1－x2）］＝9，求p 的值

Answer 1

解：由题意，x1+x2=1,x1x2=p-1
［2＋x1（1－x1）］［2＋x2（1－x2）］
=4+2x2-2x2^2+2x1-2x1^2+x1x2(1+x1x2-x1-x2)
=4+2(x1+x2)-2[(x1+x2)^2-2x1x2]+x1x2(x1x2-x1-x2+1)
=4+2-2(1-2p+2)+(p-1)(p-1)
=p^2+2p+1
=9
得p1=2,p2=-4
又p=2时，x＾2－x＋p－1＝0中Δ=1-4=-3＜0，矛盾。
p=-4时符合题意，
∴所求p=-4。

追问

x1+x2=1,x1x2=p-1
怎么来的？

追答

根与系数的关系。

追问

能不能写详细点？

追答

若ax²+bx+c=0（a≠0），
则x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
相当于把两根求出来后相加，相乘。

Answer 2

由韦达定理得：
x1+x2=1
x1x2=p-1
故9=[2+x1(1-x1)][2+x2(1-x2)]=4+2(x1-x1^2+x2-x2^2)+x1x2(1-x1)(1-x2)
=4+2[(x1+x2)-(x1+x2)^2+2x1x2]+x1x2[1-(x1+x2)+x1x2]
=4+2[1-1+2(p-1)]+(p-1)[1-1+p-1]
=4+4(p-1)+(p-1)^2
=(p-1+2)^2
=(p+1)^2
因此有：p+1=3 or -3
p=2 or -4