Question

高等数学定积分求解析

第四大题第三小题

Answer 1

• 围成的图形为关于x、y轴的轴对称图形

  S=4∫(0,½π)|y(t)·x'(t)|dt

  =4∫(0,½π)|acos³t·3asin²t·cost|dt

  =12a²∫(0,½π)(cos⁴t·sin²t)dt

  =12a²∫(0,½π)[cos⁴t·(1-cos²t]dt

  =12a²∫(0,½π)[cos⁴t-cos⁶t]dt

• cos⁶t=[½(1+cos2t)]³=⅛(1+3cos2t+3cos²2t+cos³2t)
  而cos²2t=½(1+cos4t)

  cos⁶t=⅛(1+3cos2t+3cos²2t+cos³2t)

  ∫cos⁶tdt=⅛[∫(1+3cos2t)dt+1.5∫(1+cos4t)dt+∫cos³2tdt]

  =⅛[t+1.5sin2t+1.5(t+¼sin4t)+∫(1-sin²t)d(sinx)]

  =⅛(2.5t+1.5sin2t+⅜sin4t+sint-⅓sin³t)+C

• cos⁴t=[½(1+cos2t)]²=¼(1+2cos2t+cos²2t)
  而cos²2t=½(1+cos4t)

  cos⁴t=¼[1+2cos2t+½(1+cos4t)]

  ∫cos⁴tdt=¼[∫(1+2cos2t)dt+½∫(1+cos4t)dt]

  =¼[t+sin2t+½(t+¼sin4t)]+C

  =⅛(3t+2sin2t+¼sin4x)+C

• 代入计算即可。

追问

问一句，参数方程的积分就是求y(t)×x'(t)的积分吗

追答

是的，这个是参数方程求面积的公式。

Answer 2

dS=ydx 与原来是一样的。只不过把y与x变成关于t的定积分。还要注意这个曲线的对称性

追问

没做过参数方程的定积分。。。那是y和x都要求积分然后相加吗？

追答

dx=x'dt

把y和x都换成关于t的

然后求定积分

Answer 3

以上，请采纳。

追问

问一句，参数方程的积分就是求y(t)×x'(t)的积分吗

追答

你的说法没错，但是需要建立在理解的基础上，这样记忆才可靠。

你就当作是换元就好了。 就像平时你求积分时，设一个x=acost, 参数方程的话就相当于不用你去换元了，因为有现成的参数，往里一代就对。

追问

懂了，谢谢你

Answer 4

不会