Question

实对称矩阵A逆等于A转置，但是下面这道题A转置等于A就能证明是实对称矩阵了

这样不就能推出A等于A逆了？但是这两个不等吧？

Answer 1

实对称矩阵意思是是实数和对称，这里对称就是A的转置等于A。

必要性（?）

设BTAB为正定矩阵，则对于任意的实n维列向量x≠0

都有：xTBTABx＞0

即（Bx）TA（Bx）＞0

所以：Bx≠0

因此，Bx=0只有零解，故有r（B）=n

矩阵

是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中，在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

Answer 2

必要性（?）
设B^TAB为正定矩阵，则对于任意的实n维列向量x≠0，
都有：x^TB^TABx＞0，
即（Bx）^TA（Bx）＞0．
所以：Bx≠0．
因此，Bx=0只有零解，故有r（B）=n．
充分性（?）
如果r（B）=n，
则线性方程组Bx=0只有零解，
从而对于任意的实n维列向量x≠0，都有：Bx≠0．
又因为A为正定矩阵，故有：（Bx）^TA（Bx）＞0，
即：x^TB^TABx＞0．
所以B^TAB为正定矩阵．

Answer 3

实对称矩阵意思是是实数和对称，这里对称就是A的转置等于A