Question

A可逆且为对称矩阵,证明A的逆矩阵也为对称矩阵

Answer 1

按定义可知A的伴随阵是对称的，从而逆矩阵也对称或者直接对AX=XA=I求转置得到X和X^T都是A的逆，再用逆矩阵的唯一性。

对称矩阵的压缩存储：对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

矩阵转置：

把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。

矩阵转置的运算律(即性质)：

1、(A')'=A。

2、(A+B)'=A'+B'。

3、(kA)'=kA'(k为实数)。

4、(AB)'=B'A'。

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

以上内容参考：百度百科-对称矩阵

Answer 2

A^T=A

则(A^(-1))^T=(A^T)^(-1)=A^(-1)
因此A^(-1)也为对称矩阵