Question

A是n阶实反对称矩阵,证明A+E是可逆矩阵

Answer 1

如下：

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 2

假设A+E不可逆，则|A+E|=0
所以-1是A的一个特征值
设ξ是属于-1的一个特征向量
则A^2ξ = A(-ξ) = -Aξ = ξ
但A^2=A
所以A^2ξ = Aξ = -ξ
矛盾

Answer 3

用特征值来分析，见下图：

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( 有问题欢迎追问 @_@ )

Answer 4

证明：由A为实反对称矩阵，则A的特征值为0或纯虚数，当且仅当λ=0或λ=ai（∀a∈R），s.t.
｜λE-A｜=0
故A+E的特征值为λ=1或λ=1+ai（∀a∈R），即有λ=0时，
｜λE-(A+E)｜≠0
将λ=0代入上式，得
｜A+E｜≠0
故A+E可逆得证。