Question

关于求极限lim∫(0→1)x^n/1+xdx=0

Answer 1

可以考虑夹逼准则，答案如图所示

Answer 2

评注里写的有点纰漏，实际上是可以采用中值定理的，只不过推导过程麻烦一点：
用中值定理得出的解应该为：
lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]
因为ξn具体取什么值是由n决定的，所以分数上下的ξ值都应该写作ξn，如果要证明
lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，则需要证明在取n趋向于无穷大的任意一个n时，这个以n为变量的ξn都不包括1(因为ξn的区间是[0,1])。
要证明这个也不难：
只要证明(x^n)/(1+x)在n大于任意一个数时,x∈[0,1],为单调递增或递减函数就可以了，因为如果函数单增或单减，则ξn必在(0,1)之间，不可能取到1。
(x^n)/(1+x)
求导得：
((x^n)/(1+x))'=(n*x^(n-1)*(1+x)-x^n)/(1+x)^2=(n*x^(n-1)+(n-1)*x^n)/(1+x)^2，用肉眼可以看出n>1,x∈[0,1]，时导数都是大于0的，因此ξn取不到1。