Question

!!!证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

Answer 1

设α，β是锐角，作直径AB=1的圆O，C，D是位于AB两侧的圆周上的两点，连结CD，由托勒密定理有

CD•AB=BC•AD＋AC•BD．
(*)

(1)设∠CAB=α，∠DAB=β(如图1)，则AC=cosα，BC=sinαAD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α＋β)，代入(*)得

sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)(2)设∠CAB=α，∠DBA=β，α≥β，AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α－β)，

代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)

由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)