如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)与y轴交于点C,且当x=0和

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来子真何恺
2020-02-18 · TA获得超过3万个赞
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解:(1)由题意可知:抛物线的对称轴为x=1.
当x=1时,y=3x-7=-4,因此抛物线的顶点M的坐标为(1,-4).
当x=4时,y=3x-7=5,因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为(4,5).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,
则有:a(4-1)2-4=5,a=1.
∴抛物线的解析式为:y=x2-2x-3.
(2)根据(1)的抛物线可知:A(-1,0)B(3,0)C(0,-3);
易知直线BM的解析式为y=2x-6;
当x=t时,y=2t-6;
因此PQ=6-2t;
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=12×(3+6-2t)×t+12×3
即:S四边形PQAC=-t2+92t+32(1<t<3).
(3)假设存在这样的点N,使△NMC为等腰三角形.
∵点N在BM上,不妨设N点坐标为(m,2m-6),
则CM2=12+12=2,CN2=m2+[3-(6-2m)]2,或CN2=m2+[(6-2m)-3]2.
MN2=(m-1)2+[4-(6-2m)]2.
△NMC为等腰三角形,有以下三种可能:
①若CN=CM,则m2+[(6-2m)-3]2=2,
∴m1=75,m2=1(舍去).
∴N(75,-165).
②若MC=MN,则(m-1)2+[4-(6-2m)]2=12+12.
∴m=1±105.
∵1<m<3,
∴m=1-105舍去.
∴N(1+105,2105-4).
③若NC=NM,则m2+[3-(6-2m)]2=(m-1)2+[4-(6-2m)]2.
解得m=2.
∴N(2,-2).
故假设成立.
综上所述,存在这样的点N,使△NMC为等腰三角形.且点N的坐标分别为:
N1(75,-165),N2(1+105,2105-4),N3(2,-2).
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