Question

在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，D是线段BC上的一个动点（不与点B重合），DE⊥BE于E，∠EBA=1/2∠ACB,DE与AB

在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，D是线段BC上的一个动点（不与点B重合），DE⊥BE于E，∠EBA=1/2∠ACB,DE与AB相交于点F。
（1）当点D与点C重合时，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明。

Answer 1

FD＝2BE
证明：延长BE、CA交于点G
∵C与D重合，DE⊥BE
∴CE⊥BE
∵∠BAC＝90
∴∠BAG＝90
∴∠BAG＝∠BAC
∵CE⊥BE，∠BAC＝90, ∠BFE＝∠CFA
∴∠ABG＝∠ACE
∵AB＝AC
∴△ABG全等于△ACF （ASA）
∴BG＝CF
∵∠EBA=1/2∠ACB
∴∠ACE＝1/2∠ACB
∴∠BCE＝1/2∠ACB
∴∠ACE＝∠BCE
∵CE＝CE，BE⊥CE
∴△BCE全等于△GCE （ASA）
∴BE＝GE
∴BG＝2BE
∴FC＝2BE
∵D与C重合
∴FD＝2BE

Answer 2

∠EBA=∠ACE=1/2∠ACB=22.5°
利用tan45°=2tan22.5°/（1-tan22.5°^2），解得tan22.5°=√2 - 1
Tan22.5°=EF/BE=AF/AC
BE=(√2 -1)EF ,EC=(√2 -1)BE=(√2 -1)^2 *EF
BC^2 = EC^2 + BE^2 =(√2 -1)^4 *EF^2 +(√2 -1)^2 *EF^2=2√2*(√2 -1)^3*EF^2
AC=√2/2 * BC, AF=AC/(√2 -1)
FC^2=AC^2+AF^2=2BC^2/(√2 -1)(自己化简就行）
所以，FC^2/BE^2=4√2