Question

求下列函数的单调区间和极值

Answer 1

求下列函数的单调区间：
解：1.函数y
=
x
3

–
3x
2

–
9x
+
14，求导可得y
’
=
3x
2

–
6x
–
9
；
1）令y
’
>
0可得3x
2

–
6x
–
9
>
0
=>
x
2

–
2x
–
3
>
0
=>
(x
+
1)(x
–
3)
>
0
=>
x
<
-1或者x
>
3，此时原函数单调递增；
2）令y
’
<
0可得3x
2

–
6x
–
9
<
0
=>
x
2

–
2x
–
3
<
0
=>
(x
+
1)(x
–
3)
<
0
=>
-1
<
x
<
3，此时原函数单调递减；
综上所述，所求函数的单调递增区间是
(-
∞，
-1)
以及
(3
，
+
∞
)

；所求函数的单调递减区间是
(-1
，
3)

；

解：2.函数y
=
x
–
ln(1
+
x)，求定义域：1
+
x
>
0，即
x
>
-1
，求导可得y
’
=
1
–
1/(1
+
x)
=
[(1
+
x)
–
1]/(1
+
x)
=
x/(x
+
1)
；
1）令y
’
>
0可得x/(x
+
1)
>
0
=>
x(x
+
1)
>
0
=>
x
>
0，此时原函数单调递增；
2）令y
’
<
0可得x/(x
+
1)
<
0
=>
x(x
+
1)
<
0
=>
-1
<
x
<
0，此时原函数单调递减；
综上所述，所求函数的单调递增区间是
(0
，
+
∞
)

；所求函数的单调递减区间是
(-1
，
0)

；

解：3.函数y
=
(x
–
1)
2/3

，求导可得y
’
=
(2/3)(x
–
1)
-1/3

=
(2/3)*
3
√[1/(x
–
1)]
=
2/[3
3
√(x
–
1)]
；
1）令y
’
>
0可得2/[3
3
√(x
–
1)]
>
0
=>
3
√(x
–
1)
>
0
=>
x
–
1
>
0
=>
x
>
1，此时原函数单调递增；
2）令y
’
<
0可得2/[3
3
√(x
–
1)]
<
0
=>
3
√(x
–
1)
<
0
=>
x
–
1
<
0
=>
x
<
1，此时原函数单调递减；
综上所述，所求函数的单调递增区间是
(1
，
+
∞
)

；所求函数的单调递减区间是
(-
∞，
1)

；

求下列函数的极值点和极值：
解：f(x)
=
(1/3)x
3

–
x
2

–
3x
+
3，求导可得f
’(x)
=
x
2

–
2x
–
3，令f
’(x)
=
0可得x
2

–
2x
–
3
=
0
=>
(x
+
1)(x
–
3)
=
0
=>
x
+
1
=
0或者x
–
3
=
0，所以x
=
-1或者x
=
3，所以
-1
和
3
是极值点。
因为在x
=
-1左侧，有f
’(x)
>
0，在x
=
-1右侧，有f
’(x)
<
0，所以函数f(x)的
极大值
是f(-1)
=
(1/3)*(-1)
3

–
(-1)
2

–
3*(-1)
+
3
=
-1/3
–
1
+
3
+
3
=
14/3

；
因为在x
=
3左侧，有f
’(x)
<
0，在x
=
3右侧，有f
’(x)
>
0，所以函数f(x)的
极小值
是f(3)
=
(1/3)*3
3

–
3
2

–
3*3
+
3
=
9
–
9
–
9
+
3
=
-6

；

②y
=
3
–
2(x
+
1)
1/3

，求导可得y
’
=
(-2)*(1/3)(x
+
1)
-2/3

=
(-2/3)
3
√[1/(x
+
1)
2
]
=
-2/[3
3
√(x
+
1)
2
]，恒有y
’
<
0，（函数在定义域内单调递减），因此y
’
≠
0，所以所求函数没有极值点，没有极值。

Answer 2

由于看不清你打的子不知道是几次方，所有给你提供以下思路：先求一节导数，再令一节导数为零，让后一节导数为零点代入原函数就得极值，至于单调区间这个简单，一节导数大于零原函数就增，反之则减。