Question

计算曲面积分I=∫∫(xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x+y+z),其中积分曲面是2

Answer 1

为了利用高斯公式，将目标曲面补成封闭的曲面，且方向向外侧，最后积分值减去这一部分即可.
目标曲面为半球面，补充半球面的底面部分，设为∑a.
新形成的封闭曲面设为
∑b.
在底面时，z
=
0，dz
=
0.
则：原积分
i
=
∫∫(∑b)xdydz+ydzdx+zdxdy
-
∫∫(∑a)xdydz+ydzdx+zdxdy
=
∫∫∫
3
dv
-
0
=
3v(半球)
=
2πr^3.
希望能帮到你

Answer 2

先把x+y+z=2带进去之后，原曲面∑，补上三个坐标平面∑1,∑2,
∑3形成封闭曲面，然后用高斯定理。
因为在三个坐标平面上的积分为0,
所以计算如下。
原积分=(1/2)∫∫∑+∑1+∑2+∑3
xdydz+ydzdx+zdxdy
=(3/2)∫∫∫dV
=(3/2)*8*(1/6)
=2