Question

高中数学圆锥曲线问题

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2)，它们在X轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标此原点.求：(1)求这三条曲线的方程(2)已知动直线L过点P(3,0)，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于X轴的直线N被以AP为直径的圆截得的弦长为定值若存在，求出N的方程；若不存在，说明理由
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Answer 1

(1)设椭圆为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)，双曲线为x²/m²-y²/n²=1 (m>0，n>0)，抛物线为y²=2px

将点M(1，2)代入抛物线方程得到p=2
于是抛物线为y²=4x，焦点为F1(1，0)
则椭圆和双曲线的焦点为F1(1，0)、F2(-1，0)，所以
a²-b²=1 …………①
m²+n²=1 …………②
将点M(1,2)代入椭圆方程得1²/a²+2²/b²=1，整理得
1/a²+4/b²=1 …………③
将点M(1,2)代入双曲线方程得1²/m²-2²/n²=1，整理得
1/m²-4/n²=1 …………④

①②③④联立解得
a²=3+2√2，b²=2+2√2，m²=3-2√2，n²=2√2-2

所以
椭圆方程为x²/(3+2√2) +y²/(2+2√2)=1
双曲线方程为x²/(3-2√2) -y²/(2√2-2)=1
抛物线方程为y²=4x

(2)楼主的题目一定有误，直径应为AB而不是AP，否则题目没法做。
假设存在直线N：x=xo，因为直线AB过点P(3，0)，所以可设AB的直线方程为x=uy+3
再设A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线AB与抛物线y²=4x联立消x得
y²-4uy-12=0
由韦达定理有
y1+y2=4u
y1y2= -12
则(2*半径) ²= (x1-x2)²+(y1-y2)²
弦心距=|(x1+x2)/2-xo|
在由圆心、弦中点、弦的某一端点，三点组成的直角三角形中，由勾股定理有
(弦长/2)²=半径² -弦心距²，代入数值得
弦长²= (x1-x2)²+(y1-y2)² -4*[(x1+x2)/2-xo]²
= [(uy1+3)- (uy2+3)]²+(y1-y2)² -4*[(uy1+3+uy2+3)/2-xo]²
= [u(y1-y2)]²+(y1-y2)² -4*[(uy1+uy2+6)/2-xo]²
= (u²+1)(y1-y2)² -[u(y1+y2)+6-2xo]²
= (u²+1)[(y1+y2)² -4y1y2]-[u(y1+y2)+6-2xo]²
= (u²+1)[(4u)² -4*(-12)]-[u(4u)+6-2xo]²
= (u²+1)(16u² +48)-(4u²+6-2xo)²
= 16(1+xo)u²-4xo²+24xo+12
要使弦长为定值，就是使弦长与u无关，所以u的系数16(1+xo)为0
令16(1+xo)=0，得xo= -1
所以存在直线N：x= -1，满足题设的条件。

追问

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追答

但就是这么做的

追问

第二小题是AP不是AB

追答

抛物线方程y^2=4x.设点A(t^2,2t),圆方程为(x-3)(x-t^2)+y(y-2t)=0,与直线x=a联立，得
y^2-2ty+(a-3)(a-t^2)=0.
弦长l=|y_1-y_2|=2sqrt{(a-2)t^2-a(a-3)}.因此a=2时，l为定值2

Answer 2

我来解答下，不知对不对，仅供参考！！

Answer 3

若是AP,则不存在。

Answer 4

不会