Question

高中数学向量方面有哪些应注意的问题

Answer 1

向量部分
1.平面向量知识结构表
2.向量的概念
（1）向量的基本概念
①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量
零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
③表示法：几何法：画有向线段表示，记为
或α。
④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量
,
作基底，则平面内作一向量
=x
+y
，记作：
=(x,
y)
称作向量
的坐标.
=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
（2）向量的运算
①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：
λa=λ(x,y)=(λx,
λy)
(1)︱
︱=︱
︱•︱
︱;
(2)
当
＞0时，
与
的方向相同；当
＜0时，
与
的方向相反；
当
=0时，
=0．
(3)若
=（
），则
•
=（
）．
运算律
λ（μa）=(λμ)a,(
λ+μ)a=λa+μa,
λ(a+b)=
λa+λb。
3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：
（1）．向量的夹角：已知两个非零向量
与b，作
=
,
=
,则∠AOB=
（
）叫做向量
与
的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量
与
，它们的夹角为
，则
•
=︱
︱•︱
︱cos
．
其中︱
︱cos
称为向量
在
方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质：
•
=
•
,(λ
)•
=
•(λ
)=λ（
•
），（
+
）•
=
•
+
•
。若
=（
）,
=（
）则
•
=
ⅰ）
⊥
•
=0
（
，
为非零向量）;
ⅱ）向量
与
夹角为锐角
ⅲ）向量
与
夹角为钝角
4.定理与公式
①
共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ
a
结论：
∥
(

)的充要条件是x1y2-x2y1=0
注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1,
y2有可能为0，
∵

∴x2,
y2中至少有一个不为0
2充要条件不能写成
∵x1,
x2有可能为0
3向量共线的充要条件有两种形式：
∥
(

)
②平面向量基本定量：如果
，
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数λ1,λ2使
=λ1
+λ2
③两向量垂直的充要条件
(i)
⊥
•
=0
(ii)
⊥
x1•x2+y1•y2=0（
=(x1,y1),
=(x2,y2)）
④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使
=α
+β
，其中α+β=1，O为平面内的任一点。
⑤数值计算公式
两点间的距离公式：|
|=
，其中[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]
P分有向线段
所成的比：
设P1、P2是直线
上两个点，点P是
上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数
使
=
，
叫做点P分有向线段
所成的比。
当点P在线段
上时，
＞0；当点P在线段
或
的延长线上时，
＜0；
分点坐标公式：若
=
；
的坐标分别为（
）,（
）,（
）；则：
中点坐标公式：
两向量的夹角公式：cosθ=
=
0≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)
⑥图形变换公式
平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，
则
⑦有关结论
(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则
(
+
);
一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即
=λ
，λ≠-1）则
=
+
，此即线段定比分点的向量式
(ii)有限个向量，a1,a2,…,an,相加，可以从点O出发，逐一作向量
=a1,
=a2,…,
=an,则向量
即这些向量的和，即
a1+a2+…+an=
+
+…+
=
（向量加法的多边形法则）。
当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。
注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。
3.向量的应用
（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用