Question

确定常数a,b,c的值，使lim(x-0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c

后面那个积分的下界是x，上界是b

Answer 1

首先x->0时，ax-sinx趋于0，
因此需要
定积分 [下界是x，上界是b] ∫ ln﹙1+t³﹚/t dt 也等于0，
所以x->0时，b也等于0，

再使用洛必达法则对分子分母同时求导，
原极限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x] （注意x是下界，求导会有这个负号）
若要极限存在，显然分子分母都要为0，
即a=cos0=1，

而在x趋于0时，ln(1+x³)等价于x³，
即[-ln(1+x³)/x] 等价于 -x³/x= -x²，
所以
原极限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x]
=lim(x-0) (1-cosx)/( -x²)
在x趋于0时，1-cosx趋于0.5x²
故原极限= lim(x-0) 0.5x²/( -x²)
= -0.5

即a=1，b=0，c= -0.5