Question

已知函数f(x)=1/2x^2+alnx(a∈R，a≠0），求f（x）的单调区间

Answer 1

f(x)定义域为(0，+∞)
求导：f’(x)=x+(a/x)
①a＞0时，f’(x)=x+(a/x) ＞0 ， f(x)在(0，+∞)上单调递增
②a＜0时
f’(x)=x+(a/x) ＞0，x＞-a/x ，x²＞-a，x＞√(-a)，∴f(x)在(√(-a)，+∞)上单调递增
f’(x)=x+(a/x) ≤0，x≤-a/x ，x²≤-a，0＜x≤√(-a)，∴f(x)在(0，√(-a)]上单调递减

Answer 2

因为f(x)的定义域是（0，正无穷），且导函数f~(x)=x+a/x=(x^2+a)/x
所以（1）a>0时，x>0,则f~(x)>0;
（2）a<0时，0<x<√-a,则f~(x)<0,;x>√-a,f~(x)>0
所以当a>0时，f(x)的增区间为(0,正无穷）；
当a<0时，f(x)的增区间为[√-a,正无穷）；f(x)的减区间为（0，√-a]