Question

已知函数f(x)=1/2x平方-2alnx+(a-2)x,a∈R,当a≤0时，讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

首先，由函数形式可知其定义域为x>0，f'(x)=x-2a/x+a-2={x^2+(a-2)x-2a}/x=(x-2)(x+a)/x，(x>0)，令f'(x)=0，则x=2或x=-a，a_<0，则-a>_0，接下来分情况讨论：1.当0_<-a<2时，当0_<x_<-a和x>_2时f'(x)>_函数单调增，当-a_<x_<2时f'(x)_<0，函数单调减 2.当-a=2时，f'(x)在定义域恒大于或等于零，所以函数在x>0时，单调递增 3.当2<-a时，当0<x_<2和x>_-a时，f'(x)>0

Answer 2

定义域 x>0
f'(x)=x-2a/x+(a-2)
=(x^2+(a-2)x-2a)/x
=(x-2)(x+a)/x
f'(x)=0 x=2或x=-a
(1) -a>2即a<-2时 f(x)在（0,2）增，（2，-a）减 （-a，+无穷）增
（2）a=-2 f(x)在（0，+无穷）增
（3）-2<a<0 f(x)在（0,-a）增，（-a,2）减 （2，+无穷）增