Question

已知等比数列中A(1)=5,A(2)=2,且A(n)=2A(n-1)+3A(n-2)，求A(n)的通项式

Answer 1

方法可以告诉你：

在等式A(n)=2A(n-1)+3A(n-2)两边同时加上A(n-1)，

即得
A(n)+A(n-1)
=3A(n-1)+3A(n-2)=
3｛A(n-1)+A(n-2)｝

设
T(n)
=A(n)+A(n-1),
T(n-1)
=A(n-1)+A(n-2)

则
T(n)
=
3T(n-1)
…………
构成了一个新的等比数列了,注意首项是T(2)，不是T(1)!

T(2)=A(2)+A(1)=7,公比q=3，则
T(n)=7*3^(n-2)…………等比数列求和公式！

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又因为
T(n)=A(n)+A(n-1),

故
A(n)+A(n-1)=7*3^(n-2)…………①

同理
A(n-1)+A(n-2)=7*3^(n-3)…………②

A(n-2)+A(n-3)=7*3^(n-4)…………③

………………=…………

A(2)+A(1)=7*3^0…………………

到了这里方法就是①-②+③-……一直循环到最后一个等式，左边的中间项都抵消了

只剩下A(n)+A(1)=……或者A(n)-(1)=……（有两个答案，因为这里其实n要分奇、偶性的）

计算和讨论过程比较复杂繁琐我就不写了。

这是一道比较综合的数列题目了，如果能够根据上面的提示自己继续做出来，那你高中数列应该没问题啦！

Answer 2

A(n)-3A(n-1)=-[A(n-1)-3A(n-2)]

所以A(n)-3A(n-1)是首项为-13，公比为-1的等比数列

A(n)-3A(n-1)=-13*(-1)^(n-1-1)=13*(-1)^(n-1)
(1)

A(n)+A(n-1)=3[A(n-1)+A(n-2)]

所以A(n)+A(n-1)是首项为7，公比为3的等比数列

A(n)+A(n-1)=7*3^(n-1-1)=7*3^(n-2)
(2)

由(1)式+3*(2)式得

4A(n)=13*(-1)^(n-1)+7*3^(n-1)

所以A(n)=[13*(-1)^(n-1)+7*3^(n-1)]/4

Answer 3

方法一：构造发
因为An=2A<n-1>+3A<n-2>

等式两边同时加A<n-1>可得An+A<n-1>=3[A<n-1>+A<n-2>]

所以数列{An+A<n-1> ｝是一个以A1+A2=7为首项,3为公比的等比数列

所以An+A<N-1>=7×3^[(n-1)-1]
①

两式两边同时减去3A<n-1>
可得 An-3A<n-1>=-[A<n-1>-3A<n-2>]

所以数列{An-3A<n-1>}是一个以A2-3A1=13为首项,-1为公比等比数列

所以An-3A<n-1>=13×(-1)^[(n-1)-1]
②

由①×3+
②可得4An=7×3^(n-1)+13×(-1)^(n-1)===>An=[7×3^(n-1)+13×(-1)^(n-1)]/4

方法二 ：特征根法

因为A(n)=2A(n-1)+3A(n-2)
此数列的特征方程是x²=2x+3
解得x1=-1
x2=3

所以此数列通项可设An=M×(-1)^(n-1)+N×3^(n-1)

因为A1=5
A2=2

所以M×(-1)^0+N×3^0=5

M×(-1)^1+N×3^1=2

借得M=13/4
N=7/4

即An=13/4
×(-1)^(n-1)+7/4×3^(n-1)=