Question

数学问题:求下面微分方程的通解或特解: (y^2-6x)y′+2y=0 等待在线

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解：∵(y^2-6x)y'+2y=0
==>(y^2-6x)y'=-2y
==>(y^2-6x)dy/dx=-2y
==>dx/dy=(y^2-6x)/(-2y)
==>dx/dy=3x/y-y/2
==>dx/dy-3x/y=-y/2
∴先解齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解
∵dx/dy-3x/y=0
==>dx/dy=3x/y
==>dx/x=3dy/y
==>ln|x|=3ln|y|+ln|c|
(c是积分常数)
==>x=cy³
∴齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解是x=cy³
(c是积分常数)
于是，应用“常数变易法”，设原微分方程的通解为x=uy³
(u是关于y的函数)
∵dx/dy=y³du/dy+3uy²
∴把它代入dx/dy-3x/y=-y/2
得y³du/dy+3uy²-3uy³/y=-y/2
==>y³du/dy+3uy²-3uy²=-y/2
==>y³du/dy=-y/2
==>y²du/dy=-1/2
==>du=-dy/(2y²)
==>u=1/(2y)+c
(c是积分常数)
把u=1/(2y)+c代入x=uy³，得x=[1/(2y)+c]y³=y²/2+cy³
故原微分方程的通解是x=y²/2+cy³
(c是积分常数)。

Answer 3

因为在一阶方程中,变量x,y的地位是同等的,故我们可把x视为关于自变量y的函数
解:
y′=-2y/(y²-6x)
=dy/dx
dx/dy=-(y²-6x)/2y=-y/2+3/y
*x,
所以dx/dy-3/y
*x=-y/2
为一阶线性方程.
x=e^(∫
3/y
dy[∫-y/2e^(-∫3/y
dy)
dy+C]
=cy³+y²/2,
所以y²-2x=C′y³