Question

微分方程问题 求(y^2-6x)y'=2y=0 的通解

看书的解题过程 dx/dy=6x-y^2/2y 可化为 dx/dy-3x/y=-y/2
方程所对应的齐次微分方程为 dx/dy-3x/y=0 分离变量 解得 x=cy^3
令 x=uy^3
则 dx/dy=(du/dy)y^3+u y^3带入dx/dy-3x/y=-y/2 得
y^3 du/dy=-y/2 请问这一步是怎么得来的 代人
dx/dy-3x/y=-y/2 中u y^3一项到哪里去了？

Answer 1

解：∵(y^2-6x)y'+2y=0 ==>(y^2-6x)y'=-2y
==>(y^2-6x)dy/dx=-2y
==>dx/dy=(y^2-6x)/(-2y)
==>dx/dy=3x/y-y/2
==>dx/dy-3x/y=-y/2
∴先解齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解
∵dx/dy-3x/y=0 ==>dx/dy=3x/y
==>dx/x=3dy/y
==>ln|x|=3ln|y|+ln|C| (C是积分常数)
==>x=Cy³
∴齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解是x=Cy³ (C是积分常数)
于是，应用“常数变易法”，设原微分方程的通解为x=uy³ (u是关于y的函数)
∵dx/dy=y³du/dy+3uy²
∴把它代入dx/dy-3x/y=-y/2
得y³du/dy+3uy²-3uy³/y=-y/2
==>y³du/dy+3uy²-3uy²=-y/2
==>y³du/dy=-y/2
==>y²du/dy=-1/2
==>du=-dy/(2y²)
==>u=1/(2y)+C (C是积分常数)
把u=1/(2y)+C代入x=uy³，得x=[1/(2y)+C]y³=y²/2+Cy³
故原微分方程的通解是x=y²/2+Cy³ (C是积分常数)。