Question

证明定义在R上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.

如何证明?
奇函数表示为g(x),偶函数表示为h(x)

Answer 1

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。

Answer 2

设f(x)=g(x)+h(x)①,g(x)为奇函数，h(x)为偶函数。
则有f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)②
解①②组成的方程组：
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2。

Answer 3

真的假的？