Question

设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，X2，…Xn是X的一个样本．（Ⅰ）求θ的

Answer 1

（Ⅰ）因为总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，因此
E(X)＝
θ
2
，
所以θ的矩估计为θ矩＝2
.
X
；
又f(xi，θ)＝
1
θ
，0≤xi≤θ
0，其他
，
所以似然函数L(θ)＝
1
θn
，0≤xi≤θ
0，其他
而
dlnL(θ)
dθ
＝?
n
?
＜0，
所以L（θ）关于θ是减函数．
所以θ的最大似然估计为
θ最大=max（X1，…Xn）．
（Ⅱ）E（θ最大）=E（max（X1，…Xn）），令Y=max（X1，…Xn），则
FY(y)＝P(max(X1，…Xn)≤y)＝P(X1≤y，…Xn≤y)＝FX1(y)…FXn(y)
而当0≤y≤θ，FX1(y)=
∫
y
0
f(x1，θ)dx1＝
y
θ
，
所以FX

Answer 2

（1）记x（1）=min（x1，x2，…，xn），x（2）=max（x1，x2，…，xn）
由题意知，总体x的概率函数为 f(x)＝
1
θ
，0≤x≤θ
0
，其它
由于0≤x1，x2，…，x2≤θ，等价于0≤x（1）≤x（2）≤θ．
则似然函数为
l(θ)＝
n
π
i＝1
f(xi)＝
1
θn
，0≤x（1）≤x（2）≤θ．
于是对于满足条件x（2）≤θ的任意θ有
l(θ)＝
1
θn
≤
1
x
n
(2)
即l（θ）在θ=x（2）时取到最大值
1
x
n
(2)
，故θ的最大似然估计值为

θ
＝x(2)＝
max
1≤i≤n
(xi)
∴θ最大似然估计量为

θ
＝x(2)＝
max
1≤i≤n
(xi)
（2）x的密度函数为f(x)＝
1
θ
，0≤x≤θ
0
，其它
则分布函数为f(x)＝
0
，x≤θ
x
θ
，0＜x＜θ
1
，x≥θ
因此

θ
＝x(2)＝
max
1≤i≤n
(xi)概率密度函数为
f

θ
(x)＝n[f(x)]n?1f(x)=
nxn?1
θ
，0＜x＜θ
0
，其它
（3）由于e(

θ
)＝
∫
+∞
?∞
xf

θ
(x)dx=
∫
θ
0
nxn
θ
dx＝
n
n+1
θ≠0
故

θ
不是θ的无偏估计．