Question

定义在R上的函数y=f(x)，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)

（1）求f(0)
（2）求证：对任意的x∈R,恒有f(x)>0
（3）若f(x)*f(2x-x^2)>1，求x的取值范围

Answer 1

(1)对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)
所以令a=b=0
则f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
(2)令a=-b
则f(0)=f(-b)+f(b)
∴f(-b)=-f(b)
所以f(x)为奇函数
所以这问是错误的

Answer 2

（1）令a=b=0
f（0）=f（0）*f（0）
f(0)=0或1 1且 f（0）≠0
所以f(0)=1

（2）令a>0 b=-a<0
f(b)=f(a+b)/f(a)=f(0)/f(a)=1/f(a)
因为f(a)>0 所以f(b)>0
知x>=0时，f(x)>0
∴x∈R，f（x）>0

（3）证明：设x1＜x2，则x2-x1＞0．
∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）•f（x1）．
∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞1．
又f（x1）＞0，∴f（x2-x1）•f（x1）＞f（x1）．
∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）是R上的增函数．

（4）解：由f（x）•f（2x-x2）＞1，
f（0）=1得f（3x-x2）＞f（0）．
又f（x）是R上的增函数，
∴3x-x2＞0，
∴0＜x＜3．

Answer 3

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