Question

已知抛物线C：y=x2-（m+1）x+1的顶点在坐标轴上． （1）求m的值； （2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）

Answer 1

（1）
因为两条抛物线关于y轴对称，所以两条抛物线上每一对应点到y轴的距离相等且方向相反，即每一对应点的x值是互为相反的数，而y值相等，因此，我们就可以不考虑y，而只考虑x的符号了。
y=-x^2+2mx+n
将x变号得
y=－
(-x)2+2m(-x)+n
整理得
y=
-x2-2mx+n为所求抛物线的解析式
（2）当m＝1时，△abc为等腰直角三角形.理由如下：因为点a与点b关于y轴对称，点c又在y轴上，
ac＝bc，过点a作抛物线c的对称轴交x轴于d.过点c作ce⊥ad于e.当m＝1时，顶点a的坐标为a（1，1+n），ce＝1，又点c的坐标为（0，n），ae＝1+n－n＝1，所以ae＝ce，∠eca＝45°，∠acy＝45°，由对称性知∠bcy＝45°，∠acb＝90°，所以△abc为等腰直角三角形.
（3）假设抛物线c，上存在点p，使得四边形abcp为菱形，则pc＝ab＝bc，由（2）知，ac＝bc，ab＝bc＝ac，从而△abc为等边三角形，所以∠acy＝∠bcy＝30°.又四边形abcp为菱形，且点p在c1上，点p与点c关于ad对称，pc与ad的交点也为e，∠ace＝90°－30°＝60°，点a、c的坐标分别为a（m，m2+n），c（0，n），ae2＝m2+n－n＝m2，ce＝│m│，在rt△ace中，tan60°＝ae/ce＝m^2/│m│＝√3.所以m＝±√3．故抛物线c上存在点p，使得四边形abcp为菱形.此时m＝±√3.

Answer 2

(1)顶点在y轴上时，则x=0，-b/2a=0,-(-(m+1))/2,则m=-1.
顶点在x轴上时，则y=0,b2-4ac=0,所以x2-(m+1)x+1=0,(-(m+1))^2-4=0,m=1或m=-3
(2)m>0,则m=1，所以y=x2-2x+1,向下平移n,得y=x2-2x+1-n.