Question

判断一些无穷级数是否收敛的积分方法

RT 老师讲过，但是忘了，又没查到， 想知道这个积分方法具体是什么 比如这个1/｛n*[(㏑n）的p次方]｝

Answer 1

无穷级数的积分判别法：若f(x)在区间[1,∞)的值是正的，且单调下降，则级数∑{n>=1}
f(n)收敛当且仅当积分∫[1,∞)
f(x)dx有限。
例：取f(x)=1/[x*(ln(x))^p]，可知∑{n>=2}
1/[n*(ln(n))^p]（取n从2开始以保证分母不等于零）收敛当且仅当∫[2,∞)
1/[x*(ln(x))^p]dx有限。对积分∫[2,∞)
1/[x*(ln(x))^p]dx做换元t=ln(x)，得∫[ln(2),∞)
t^(-p)dt=t^(-p+1)/(-p+1)|{t=∞}-t^(-p+1)/(-p+1)|{t=ln(2)}，有限当且仅当-p+1<0，即p>1。所以原级数收敛当且仅当p>1