Question

已知圆C:x²＋y²－2x＋4y-4＝0

是否存在实数b，使直线m:y=x+b被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点O？若存在，求出b的值;若不存在，说明理由

Answer 1

⊙c的方程为：(x+1)^2+(y-2)^2=2，故圆心c点坐标为（-1,2），圆半径为√2。
设p点坐标为p（x,y）。
在rt△pcm中，|pm|^2=|pc|^2-|cm|^2=(x+1)^2+(y-2)^2-2
由|pm|=|po|知，|pm|^2=|po|^2即(x+1)^2+(y-2)^2-2
=x^2+y^2，化简得2x-4y+3=0，这就是p点的方程。
所以|pm|最小即|po|最小，也就是直线l：2x-4y+3=0与o点距离最小，那么po⊥直线l时，|po|最小，此时|pm|最小。直线l斜率为1/2，则po斜率为-2，所以y=-2x
2x-4y+3=0
①
y=-2x
②
联立解得x=-3/10,
y=3/5.
综上，丨pm丨取得最小值的点p的坐标为（-3/10,
3/5）