Question

已知圆O：x²+y²=4和圆C：x²+（y-4）²=1

过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A、B两点。试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使圆P经过点M（2,0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由

Answer 1

C（0，4） ，当k不存在的时候，圆P的方程刚好就是圆O的方程，此时P坐标是（0，0）
当斜率k存在 设直线方程 y=kx+4 代入圆O的方程 可以得到方程 x²+（kx+4）²=4 化简得到 （k²+1）x²+8kx+12=0 因为要满足跟圆O有2个交点 所以 64k²-48（k²+1）必须大于0 可以得到 k²>3 所以k>根号3 或者k<-根号3
根据韦达定理可以得到 Ax+Bx=-8k/（k²+1） Ax*Bx=12/（k²+1） 由此可以得到 P的坐标
( -4k/（k²+1）, 4k²/（k²+1）+4 ), 注意到P也是在直线AB上的 求出PM的距离 如果PM的距离等于 半径 就是AB长的一半 那么 P就在圆上, AB的长度可以通过弦长公式求得
弦长=│Ax-Bx│√(k^2+1)=√（Ax+Bx）²-4* Ax*Bx √(k^2+1)（　其中k为直线斜率,Ax Bx 就是 A B 点的横坐标