Question

2.设f(x)连续，且满足∫_0^(x^2)▒〖f(t)dt=2/3 x^3 〗，求f(1) 要有详细解答过程

Answer 1

∫[0，x²] f(t) dt = 2x³/3，两边求导
2x f(x²) = 2x²
f(x²) = x
f(x) = √x
f(1) = 1

追问

f(x²) = x
f(x) = √x
f(1) = 1
这后3步中f(x)应该＝ ±√x吧，然后得出f(1)= ±1两个答案???这就是我疑问的地方，麻烦能回答一下吗？

追答

若f(x) = √x
代入x = x²，f(x²) = √(x²) = x
若f(x) = -√x
代入x = x²，f(x²) = -√(x²) = -x

追问

就是f（x）中的x一定是正的？

追答

详细点的过程是这样。
令u = x²则x = ±√u
f(u) = ±√u
f(x) = √x 或 -√x
但在f(x) = -√x中，当代入x = x²时得到f(x²) = -√(x²) = -x ≠ x，所以这个f(x) = -√x的可能性就要舍去了
主要是要符合f(x²) = x这个方程