Question

如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于a(-1,0),(3,0)两点

1：求抛物线表达式
2：设(1)中抛物线中有一个动点p，当p点在抛物线上滑到什么位置时，满足S△pab=8？求此p点坐标
3：设(1)中抛物线交y轴于c，在该抛物线的对称轴上是否存在点q，使△qac周长最小？若存在，求出q点坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

题目怎么和原来的还是一样呢：
http://zhidao.baidu.com/question/375955261.html?fr=im100008
应该是“抛物线y=x²+bx+c”与X轴交于点A（-1,　0）、B（3,　0）吧？
如果是，则
（1）将A（-1,　0）、B（3,　0）代入y=x²+bx+c，得
{1-b+c=0
9+3b+c=0
解得{b=-2
c=-3
∴抛物线表达式是y=x²-2x-3
(2)设P点坐标为（m，n)
∵AB=3-(-1)=4
∴S△ABP=½×AB×|n|=8
½×4×|n|=8
|n|=4
∴n=4或n=-4
当n=-4时，m²-2x-3=-4
解得m1=1，则P1（1,　-4）
当n=4时，m²-2x-3=4
解得：m2=1+2√2, m3=1-2√2;
∴P2(1+2√2, 4)、P3(1-2√2, 4)
(3)(1)中抛物线y=x²-2x-3交y轴于C,则C（0,　-3）
在该抛物线的对称轴上是存在点Q，使△QAC周长最小，
由于A（-1,　0）关于抛物线的对称轴直线X＝1的对称点为B（3,　0），
连接BC与直线X＝1的交点即为所求，
∵过B（3,　0）、C（0,　-3）的直线为y=x-3,
当x=1时，y=1-3=-2
∴Q(1, -2)

Answer 2

解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0），
∴(-1)2-b+c=032+3b+c=0​
解得b=-2c=-3​．
∴所求解析式为y=x2-2x-3．

（2）设点P的坐标为（x，y），
由题意：S△PAB=12×4|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
当y=4时，x2-2x-3=4，
∴x1=22+1，x2=-22+1；
当y=-4时，x2-2x-3=-4，∴x=1，
∴满足条件的点P有3个，
即（22+1，4），（-22+1，4），（1，-4）．

（3）在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
∵点A关于对称轴x=1的对称点是（3，0），
∴Q是直线BC与对称轴x=1的交点，
设过点B，C的直线的解析式y=kx-3，把B（3，0）代入，
∴3k-3=0，
∴k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
把x=1代入上式，
∴y=-2，
∴Q点坐标为（1，-2）．