Question

已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=anan+1数列{an}的前n项和...

已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=anan+1数列{an}的前n项和为Sn． （1）求证：数列{1an}为等差数列； （2）设Tn=S2n-Sn，求证：Tn+1＞Tn．

Answer 1

（1）证明：由an-an+1=anan+1，从而得1an+1-1an=1（3分）

a1=1，∴数列{1an}是首项为1，公差为1的等差数列（5分）

（2）1an=n则an=1n，∴Sn=1+12+13+…+1n

∴Tn=S2n-Sn=1+12+13+…+1n+1n+1+…+12n-（1+12+13+…+1n）

=1n+1+1n+2+…+12n（9分）

证：∵Tn+1-Tn=1n+2+1n+3+…+12n+2-（1n+1+1n+2+…+12n）

=12n+1+12n+2-1n+1

=12n+1-12n+2

=1(2n+1)(2n+2)＞0，

∴Tn+1＞Tn；…12分

简介

数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

Answer 2

（1）证明：由an-an+1=anan+1，
从而得1an+1-1an=1（3分）
a1=1，∴数列{1an}是首项为1，公差为1的等差数列．（5分）
（2）1an=n则an=1n，∴Sn=1+12+13+…+1n
∴Tn=S2n-Sn=1+12+13+…+1n+1n+1+…+12n-（1+12+13+…+1n）
=1n+1+1n+2+…+12n（9分）
证：∵Tn+1-Tn=1n+2+1n+3+…+12n+2-（1n+1+1n+2+…+12n）
=12n+1+12n+2-1n+1
=12n+1-12n+2
=1(2n+1)(2n+2)＞0，
∴Tn+1＞Tn；…12分