Question

函数y=sinX+cosX+2的最小值是多少？

y=sinX+cosX+2
=√2sin(x+π/4)+2 这步看不懂，根号2是怎么来的。求详解
≥2-√2

Answer 1

把sinX+cosX看成是一个常数倍的sin（X+a）的展开式，为了凑这个形式，提出根号2，这样使得这个式子变成√2sinX(√2/2)+√2cosX（√2/2）。然后，需要把整个式子变成了√2sinXcosa+√2cosXsina的形式，(√2/2)分别可写成sinπ/4和cosπ/4的形式，这里的π/4就是我们需要的a，于是就有了√2sinXcosπ/4+√2cosXsinπ/4，再提出√2，式子就符合了sin（X+a）的展开式形式，就可以还原回来，也就是√2sin(x+π/4)

Answer 2

y=sinx+cosx+2
=√2[sinx(√2/2)+cosx(√2/2)]+2
=√2[sinxcos(π/4)+cosxsin(π/4)]+2
=√2sin(x+π/4)+2
当sin(x+π/4)=-1时，y有最小值ymin=2-√2
当sin(x+π/4)=1时，y有最大值ymax=2+√2

Answer 3

y=sinX+cosX+2
=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)+2
=√2(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)+2
=√2sin(x+π/4)+2
-1≤sin(x+π/4)≤1 所以有 原式≥2-√2