Question

一道高二的数学题，急，高手进，要过程

已知abc均为正数,且a+b+c=1,求证4<根号下3a+1+根号下3b+1+根号下3c+1《3根号下2

Answer 1

解:
因为a,b,c均为正数，且a+b+c=1，所以必有0<a,b,c<1
设P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f(x)=√(3x+1)的图像，显然可以发现其图像一定在点(0,1)和(1,2)这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y=x+1
所以可以发现在在(0,1)上恒有√(3x+1)>x+1
当然这样只是画图所得，未必准确，所以还要严格证明，证之如下：
上式两边平方得：3x+1>x^2+2x+1
<=>x^2-x<0
<=>x(x-1)<0
而此时x∈(0,1)，可见上式显然成立。
所以我们有：
√(3a+1)>a+1
√(3b+1)>b+1
√(3c+1)>c+1
以上四式相加得P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)>a+b+c+3=4
又n个正数的算术平均数不小于它们的平方平均数。n=3的情况，就是：
(x+y+z)/3=<√[(x^2+y^2+z^2)/3].当仅当x=y=z时等号成立。
证明：[√(2a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)]/3
=<√{[(3a+1)+3b+1)+(3c+1)]/3}
=<√{[3(a+b+c)+3]/3}=√(6/3)=√2
去分母得到：√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)=<3√2 所以证得4<√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)=<3√2