Question

若正数x，y满足x+3y=5xy+5，则3x+4y的最小值为？

请看清题目，题目中给定的关系式是：x+3y=5xy+5，不要搞错！解答者请给出详细的解题过程。多谢！

Answer 1

5x-3)y=x-5

Y=（x-5)/（5x-3)，

因为x， y正数。x＞0且，y＞0

0＜x＜3/5或x＞5

函数定义域为（0，3/5）∪（5，+∞）

定义域是开区间，函数图像如下

由于定义域为开区间，根据图像无法取到最小值。自己可以好好考虑一下。

3x+4y=3x+4(x-5)/(5x-3)的图像为

追问

嗯嗯，您的答案很有启发。我好好思考一下！

Answer 2

解,x=(3y-5)/(5y-1)>0 y>5/3或0<y<1/5 3x+4y=(9y-15)/(5y-1)+4y =

Answer 3

∵X﹥0，y>0，X十3y=5Ⅹy，
∴3/5X十1/5y=1，
∵3X+4y=(3X+4y)(3/5Ⅹ+1/5y)
=13/5十(12y/5x+3x/5y)
≥13/5+2√(12y/5x·3X/5y)=5，
仅当12y/5X=3X/5y即ⅹ=2y又X+3y=5xy，
∴x=1，y=1/2取等号，
所求最小值为5。

Answer 4

∵x-5=5xy - 3y=y(5x - 3)
∴y=(x - 5)/(5x - 3)
∵x，y都是正数
∴(x-5)/(5x-3)>0
解得：x>5或者0<x<3/5
令3x + 4y=k
将y代入：3x + 4(x-5)/(5x - 3)=k
两边同乘(5x-3)：3x(5x-3) + 4(x-5)=k(5x-3)
整理得：15x² - (5k+5)x + 3k-20=0
∵方程有解，即：△≥0
∴△=[-(5k+5)]² - 4•15•(3k-20)
=25k²+50k+25-180k+1200
=25k² - 130k + 1225
=25(k - 13/5)² + 1056
这个式子k取任何实数都恒大于零，所以没有最小值吧。

追问

△≥0只能说明二次函数有解呀，说明k取任何值该方程有解，也就是说一定与x轴有交点，如何能说明该函数没有最小值呢？您的思路我没明白

追答

k取任值时，△都>0，可以满足x有解。但是正因为k可取任意实数，所以k没有最小值，也没有最大值。
这里不把它看成函数。