Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x∈（0，1）时，f(x)=2x4...

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1． （1）求f（x）在[-1，1]上的解析式； （2）判断f（x）在（0，1）上的单调性； （3）当λ为何值时，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有实数解．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0．
又∵2为最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=2-x4-x+1=2x4x+1=-f(x)，
∴f(x)=-2x4x+1，
∴f(x)={-2x4x+1，x∈(-1，0)0，x∈{-1，0，1}2x4x+1，x∈(0，1).
（2）设0＜x1＜x2＜1，
f（x1）-f（x2）=(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)(4x1+1)(4x2+1)=(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(4x1+1)(4x2+1)＞0，
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴2141+1＜f(x)＜2040+1，
即f（x）∈（25，12）．
同理，x在（-1，0）上时，f（x）∈（-12，-25）．
又f（-1）=f（0）=f（1）=0，
∴当λ∈（-12，-25）∪（25，12）或λ=0时，f（x）=λ在[-1，1]内有实数解．