设函数f(x)=kx^3-3x^2+1(k>0) (1)求函数f(x)的单调区间 (2)若函数f(x)的极小值大于0，求实数k的取值范围
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f(x)=kx^3-3x^2+1(k>0)
求导
f'(x)=3kx²-6x=3x(kx-2)>0得
因为 k>0
x>2/k 或 x<0
所以 其单调增区间为 (负无穷，0)和(2/k,正无穷)
f'(x)>0得 0<x<2/k
所以 其单调减区间为 【0,2/k】
函数在 x=2/k 取得极小值
带入得
f(2/k)=k*(2/k)^3-3*(2/k)^2+1>0
k^4/8-3k^2/4+1>0
k^4-6k^2+8>0
(k^2-2)(k^2-4)>0
k^>4 或 0<k^2<2
k>2或k<-2 -√2<k<√2
所以 k的取值范围是 k>2 或 k<-2 或 -√2<k<√2
求导
f'(x)=3kx²-6x=3x(kx-2)>0得
因为 k>0
x>2/k 或 x<0
所以 其单调增区间为 (负无穷，0)和(2/k,正无穷)
f'(x)>0得 0<x<2/k
所以 其单调减区间为 【0,2/k】
函数在 x=2/k 取得极小值
带入得
f(2/k)=k*(2/k)^3-3*(2/k)^2+1>0
k^4/8-3k^2/4+1>0
k^4-6k^2+8>0
(k^2-2)(k^2-4)>0
k^>4 或 0<k^2<2
k>2或k<-2 -√2<k<√2
所以 k的取值范围是 k>2 或 k<-2 或 -√2<k<√2
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