Question

特征值的乘积等于行列式的值吗？

Answer 1

特征值，理解为通过变换改变了观察者视角，由特征向量产生新的正交基，每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数。行列式，理解为有向体积的缩放系数，特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数。

对于一般的行列式来说，它的值并不等于对角线上元素的乘积，所以无法得出你的结论.如果是上（下）三角行列式或对角行列式，值为主对角线上元素的乘积，而主对角线的元素也确实就是特征值。

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν，其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。