Question

∫∫(x+y)/（x^2+y^2）dxdy,其中D：x^2+y^2≤1,x+y≥1

Answer 1

x+y=1化为极坐标方程为：rcosθ+rsinθ=1，即：r=1/(cosθ+sinθ)
∫∫
(x+y)/(x²+y²)
dxdy
=∫∫
[(rcosθ+rsinθ)/r²]rdrdθ
=∫[0→π/2]
(cosθ+sinθ)
dθ∫[1/(cosθ+sinθ)→1]
dr
=∫[0→π/2]
(cosθ+sinθ)[1-1/(cosθ+sinθ)]
dθ
=∫[0→π/2]
(cosθ+sinθ-1)
dθ
=sinθ
-
cosθ
-
θ
|[0→π/2]
=1
-
0
-
π/2
+
1
=2
-
π/2
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