Question

如下图x^2+y^2=4与y轴的两个交点分别为A,B，以a.b为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点

如下图x^2+y^2=4与y轴的两个交点分别为A,B，以a.b为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点分别为c、d，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程。有没有简便方法？过程……

Answer 1

D(-2cosa,-2sina)，则C(-2cosa,2sina)，设点C在上方，A(0，-2)，B(0，2)
则cosa>0，sina>0，所以可令a属于【0，π/2】
则CD=4sina，AB=4，AD=BC=√[4(cosa)^2+(2sina-2)^2]=√(8-8sina)=2(√2)*√(1-sina)
注意到1-sina可以用倍角公式，1-sina=[sin(a/2)]^2-2sin(a/2)*cos(a/2)+[cos(a/2)]^2
=[cos(a/2)-sin(a/2)]^2
因为a属于【0，π/2】，所以a/2属于【0，π/4】，此时cos(a/2)≧sin(a/2)
所以AD=BC=2(√2)*√(1-sina)=2(√2)*[cos(a/2)-sin(a/2)]
再结合辅助角公式cos(a/2)-sin(a/2)=(√2)*cos(a/2+π/4)
所以AD=BC=2(√2)*[cos(a/2)-sin(a/2)]=4cos(a/2+π/4)
所以周长=AB+CD+2BC=4+4sina+8cos(a/2+π/4)
由诱导公式，sina=-cos(a+π/2)
再结合倍角公式：cos(a+π/2)=2[cos(a/2+π/4)]^2-1
所以周长=4-4{2[cos(a/2+π/4)]^2-1}+8cos(a/2+π/4)
=-8[cos(a/2+π/4)]^2+8cos(a/2+π/4)+8
把周长看做关于cos(a/2+π/4)的二次函数，开口向下，对称轴为1/2，
因为a/2属于【0，π/4】，所以a/2+π/4属于【π/4，π/2】，推出cos(a/2+π/4)属于【0，√2/2】
即该二次函数的定义域为【0，√2/2】，
对称轴1/2落在定义域区间内，所以在对称轴处取得最大值，
即cos(a/2+π/4)=1/2，可得a=π/6，
所以点D(-√3，-1)，
要求双曲线方程，已有了c=2，只要求出a（这个a是双曲线中的参数，不是上面的角度）就行，
计算最少的方法是：根据第一定义：DA=2，DB=2√3，DB-DA=2√3-2=2a
所以a=√3-1，a^2=4-2√3，则b^2=c^-a^2=2√3
所以所求双曲线的方程为：y^2/(4-2√3)-x^2/2√3=1