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数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题,1+2+3+....+100?经过研究,这个问题的一般性结论是:1+2+3+...+n(n+1),其中n是正整数。现在我们来研究...
数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题, 1+2+3+....+100?经过研究,这个问题的一般性结论是: 1+2+3+...+n(n+1),其中n是正整数。 现在我们来研究一个类似的问题1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)=?观察下面3个特殊的等式: 1x2=三分之一(1x2x3-0x1x2) 2x3=三分之一(2x3x4-1x2x3) 3x4=三分之一(3x4x5-2x3x4) 将这3个等式的两边相加,可以得到:1x2+2x3+3x4=三分之一x3x4x5=20 读完这段材料,请你思考后回答: (1)1x2+2x3+3x4+...+100x101= (2)1x2+2x3+3x4+...n(n+1)= 根据上面的结果猜想下面的算式结果: 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)= (要答案和详细过程哦~~~)
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(1)1x2+2x3+3x4+...+100x101
=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+100x101x102-99x100x101)/3
=100x101x102/3=343400
1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)
=[ 1x2x3x4-0x1x2x3+2x3x4x5-1x2x3x4+3x4x5x6-2x3x4x5+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]/4
= n(n+1)(n+2)(n+3)/4
=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+100x101x102-99x100x101)/3
=100x101x102/3=343400
1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)
=[ 1x2x3x4-0x1x2x3+2x3x4x5-1x2x3x4+3x4x5x6-2x3x4x5+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]/4
= n(n+1)(n+2)(n+3)/4
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1 三分之(100x101X102)
2 三分之
这两个可以通过观察得到
3 4分之(n×(n+1)×(n+2)×(n+3))
1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)=四分之[ 1x2x3x4-0x1x2x3+2x3x4x5-1x2x3x4+3x4x5x6-2x3x4x5+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
2 三分之
这两个可以通过观察得到
3 4分之(n×(n+1)×(n+2)×(n+3))
1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)=四分之[ 1x2x3x4-0x1x2x3+2x3x4x5-1x2x3x4+3x4x5x6-2x3x4x5+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
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由已知规律可分析得到(1)1x2+2x3+3x4+...+100x101=三分之一(100x101x102);(2)1x2+2x3+3x4+...n(n+1)=三分之一[n(n+1)(n+2)];最后猜想1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)=四分之一[n(n+1)(n+2)(n+3)]。既然是猜想,就用数学归纳法证明猜想,我刚证过,成立…
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