Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n． （Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．
（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；
（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大项．

Answer 1

（Ⅰ）
an+Sn=2n (1)
a(n-1)+S(n-1)=2n-2 (2)
(1) -(2)得
an -a(n-1) +an=2
即 2an -a(n-1)=2
2an=a(n-1) +2
2(an -2)=a(n-1) -2
(an - 2)/[a(n-1) -2 ]=1/2
所以 {an -2}是公比为1/2的等比数列，而由 a1+S1=2，得 a1=1，a1-2=-1
所以 an - 2=-(1/2)^(n-1)，an=2-(1/2)^(n-1)
（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2）=(n-2)(1/2)^(n-1)
则 b(n+1)=3(n-1)(1/2)^n
令 b(n+1)>bn，得 (n-1)(1/2)^n>(n-2)(1/2)^(n-1)
即 (n-1)/2>n-2，n-1>2n-4，n<3
从而 当 n<3时，有 b(n+1)>bn，
当 n=3时，有 b3=b4=1/4
当 n>3时，有 b(n+1)<bn
所以 b3=b4=1/4为最大项