Question

已知：已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的一个焦点与抛物线y^2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于√5。 求解

：若有两个半径相同的圆C1,C2,他们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上，过双曲线的右焦点且且斜率为-1的直线l与圆C1,C2都相切，求两圆C1,C2圆心连线的斜率的范围。

Answer 1

∵y^2=4x的焦点F（1,0）
∴双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1中
c=1,
又c/a=√5,
∴a=√5/√5,b^2=c^2-a^2=4/5
∴双曲线方程为5x^2-5y^2/4=1
双曲线渐近线方程为：y=±2x
设C1:(x-t)^2+(y-2t)^2=r^2
C2:(x+s)^2+(y-2s)^2=r^2
其中t,s，r>0
直线l:x+y-1=0
∵直线l与圆C1,C2都相切
∴|t+2t-1|/√2=r, |-s+2s-1|/√2=r
|3t-1| =√2r, |s-1|=√2r
3t-1=s-1或3t-1=1-s
s=3t 或 s=2-3t (0<t<2/3)
C1,C2连线的斜率
k=(2s-2t)/(-s-t)=-2(s-t)/(s+t)
若 s=3t==>k=-1
若 s=2-3t
k=(4t-2)/(1-t)=-4+2/(1-t)
0<t<2/3, 1/3<1-t<1
2<2/(1-t)<6
-2<-4+2/(1-t)<2
两圆C1,C2圆心连线的斜率
的范围是（-2,2）