Question

子集个数是2的n次方怎么证明？

Answer 1

对每个子集而言，全集中的每个元素都有两种选择：在这个子集中或者不在，所以总共有8的n次方个子集，但是其中有一个是空集，所以是8的n次方-8。

方法一：含有N个元素的集合的每一个元素有“在某一子集中”和“不在某一子集中”两种情况，即都有2种可能，故子集的个数=2×2×2....×2（一共N个2）=二的N次方

方法二：含有N个元素的集合的子集中没有元素的子集有C(N,0)个，

含有一个元素的子集有C(N,1)个，

含有两个元素的子集有C(N,2)个，

含有三个元素的子集有C(N,3)个，

含有N个元素的子集有C(N,N)个，

共有C(N,1)+C(N,2)+C(N,3)+........+C(N,N)=二的N次方

（由二项式系数性质得到）

几何上可以理解为：

所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：

(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)

对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到

(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2

=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2

长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。

同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：

P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)