Question

一道高中数学题: (1/x)*ln(1+x)存在最大值吗?怎么做?

Answer 1

无最大值.
考虑函数f(x)=ln(1+x)-x,(x>-1),f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x),f'(x)>0得x<0,所以f(x)在(-1,0)单调递增,
在(0,+∞)递减.在0取极大值.而f(0)=0,所以f(x)<0恒成立,即ln(1+x)<x.当-1<x<0时有ln(1+x)/x>1,
当x>0时有ln(1+x)/x<1,所以ln(1+x)/x无最大值.

追问

当X>0时有最大值么?

追答

当X>0时也没有最大值,当x>0时有ln(1+x)/x<1,而不能等于1.(x不能为0)

Answer 2

两个重要极限
　　1、x→0，sin(x)/x →1 　　2、x→0，（1 + x）^1/x→e或 x→∞ ，（1 + 1/x）^x→e 　　x→∞ ，（1 + 1/x）^（1/x） → 1 　　（其中e≈2.7182818...是一个无理数）

因此，(1/x)*ln(1+x)存在最大值1.
具体参看百度极限。高中阶段对极限要求不高，记住就行。

Answer 3

函数f(x)=ln(1+x)-x,(x>-1),f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x),f'(x)>0得x<0,所以f(x)在(-1,0)单调递增,
在(0,+∞)递减.在0取极大值.而f(0)=0,所以f(x)<0恒成立,即ln(1+x)<x.当-1<x<0时有ln(1+x)/x>1,
当x>0时有ln(1+x)/x<1,
函数定义域：（-1,0），（0，+无穷）
在以上2段D中，(1/x) ln(1+x) 同号，故(1/x)*ln(1+x)的极值在端点处取到，故对应值域：
【1，+无穷）；（0,1】，因此在D上午MAX