Question

SVM算法原理

Answer 1

一、决策面方程

以二维空间为例，二维空间中任意一条直线方程可以写为

我们将其向量化，可以得到

设用向量w代表矩阵a1和a2，用向量x代表矩阵x1和x2，标量γ代表b，则方程可化表示为

从方程可知，一个n维空间的超平面在二维空间上的表现，可以是一条直线，或者一个曲线（二维空间中只能看到这个n维超平面穿过而无法看到其模样）， 超平面方程即是我们的决策面方程

二、函数间隔和几何间隔

在SVM监督学习中，我们规定标签数据为+1和-1两个值，这么做的目的， 可以计算出任意一个样本点在超平面方程上的表现结果的符号，与标签符号是否一致来判断分类的正确性 ，为此我们可以引入函数间隔的概念

但是当我们成比例的缩放w和γ，函数间隔的值也将成比例的变化，可是超平面的位置并没有发生任何变化，所以函数间隔并不是我们想要的分类间隔，为此，我们需要引入几何间隔的概念

还是以二维空间出发，任意一点到直线的距离可以写成

我们将其拓展到n维空间，直线方程即是我们的超平面方程，则n维空间中任何一点到超平面的距离可以写成

为此，我们引入几何间隔概念，其中||w||表示向量w的二范数

从几何间隔可以看出，就算等比例缩放w和γ，由于除上了||w||使得几何间隔的值不会改变，它只随着超平面位置的变化而变化，因此， 我们要寻找的分类间隔是几何间隔

三、不等式约束条件

SVM算法的目的是找到一个将分类效果达到最合理化的超平面，这个超平面即是分类器 。而评估分类器的好坏的标准就是分类间隔的大小

我们定义分类间隔的距离为d，好的分类器应该让所有样本点到决策面的几何间隔都大于等于d

化简上式，不等式两边同时除以d可得

由于||w||和d都是标量，可定义

则上式可化简为

在不等式两边同时乘以yi，即将两个式子化简为一个式子（这里体现了正是因为标签数据为+1和-1，才方便将约束条件变成一个约束方程）

这个约束方程的意义 即是任何样本点到超平面（分类器）的几何间隔都大于等于分类间隔

四、SVM最优化模型的数学描述

评估分类器的优劣是分类间隔的大小，且对于任意样本点都满足约束方程

由约束方程可知，当样本点落在支持向量边界上有如下关系

则分类间隔d可以表示为支持向量点到超平面的几何间隔

要让任何样本点都在d之外，即求分类间隔d的最大值，则目标函数可以写成

为了方便在后续最优化处理中对目标函数的求导，我们将目标函数做等效变化

由目标函数是二次的，而约束条件是线性的，则 SVM的数学模型即是：不等式约束条件下的二次型函数优化 ，而求解这一类优化问题，接下来我们需要构造 拉格朗乘子函数

五、引入拉格朗函数

目标函数是求解在约束条件g(x)下的二次型函数f(x)的最小值，直观上我们希望构造一个函数L(x)，使得L(x)在f(x)的可行解区域内的求出的值和f(x)求出的值完全一样，而在f(x)的可行解区域外，L(x)的值又接近无穷大，这么做的目的，使得我们可以用一个函数L(x)来等效表示原问题的g(x)和f(x)

拉格朗函数的目的，就是将约束条件融合到目标函数中，构造一个新函数来表示目标函数，将有约束的优化问题转化为无约束的优化问题

下面，我们构造拉格朗函数来表示目标函数

其中αi是拉格朗日乘子，每一个约束条件对应一个拉格朗日乘子，其中αi大于等于0

则原优化问题可以转化为

讨论如下条件(1)(2)：

(1) 当样本点不满足约束条件时，即说明在 可行解区域外

此时将αi置为正无穷大，那么θ(w)显然也是正无穷大

(2) 当样本点满足约束条件时，即说明在 可行解区域内

此时θ(w)的最小值就是原目标函数，于是综上所述，引入拉格朗乘子函数后，可以得到新的目标函数

我们用p*表示优化目标函数后的最优解，且与最初的目标函数等价

观察新的目标函数，如果直接求偏导数求解，那么一上来将面对w和b两个未知参数，而αi又是不等式约束，求解过程将非常复杂。换一个角度思考，如果将max和min的位置对调，变成如下新的目标函数

上式变化使用了 拉格朗日函数的对偶性，交换后的新问题即是原目标函数的对偶问题 ，我们用d*来表示对偶目标函数的最优解，可见d*的求导过程比p*相对容易，且d*<=p*，而当满足下列条件时，d*= p*

因为目标函数本身已经是一个凸函数，而优化问题又是求解最小值，所以目标函数的最优化问题就是凸优化问题，则接下来就要重点讨论KKT条件

六、KKT条件的描述

一个最优化模型能够表示成下列标准形式

其中f(x)是需要最小化的函数，h(x)是等式约束，g(x)是不等式约束，m和n分别是等式约束和不等式约束的数量

KKT条件即是规定f(x)的 最优值 必须满足以下(1)(2)(3)条件， 只有满足KKT条件，目标函数的最优化问题依然可以用拉格朗日乘子法解决

很明显，我们需要优化的目标函数属于带有不等式约束函数g(x)，所以条件二显然满足，下面我们来分析条件一和条件三的理论

七、目标函数的等高线与约束条件的最优值分析（条件一）

对于KKT条件一的分析，我们假设目标函数是f(x1,x2)的二元函数，它的图像在三维空间里是一个曲面，准确的来说是一个凸曲面

其中g(x1,x2)是约束方程，要求目标函数f(x1,x2)的最小值，即转化为 求g(x1,x2)=c这条曲线上的一点，使得f(x1,x2)取得最小值，换个比喻，就是在山上（目标函数曲面）寻找一条山路（约束条件曲线）的最低点

我们画出目标函数的等高线，来分析目标函数最优值和约束条件的关系

对于研究目标函数z=f(x1,x2)，当z取不同的值，即将曲线z投影在(x1,x2)组成的空间中（这里指的是二维空间），也就是曲面的等高线，上图中d1和d2即是两条目标函数的等高线，可以看出，当约束函数g(x1,x2)与目标函数的等高线有共同的交点， 即证明这组值同时满足在目标函数的可行域中，也符合约束条件的约束关系

如果等高线与g(x1,x2) 相交 ，则是一组目标函数的解，但是这个解一定不是最优解， 因为相交意味着肯定存在其它等高线在该条等高线的内部或者外部 ，可能会使得新的等高线与g(x1,x2)的交点更大或者更小，这就意味着只有当等高线与g(x1,x2) 相切 ，才可能得到最优解（切线可能多条）

所以最优解必须满足： 目标函数的负梯度方向与约束函数的梯度方向一致

而上式恒成立的条件就是： 拉格朗日乘子α >= 0 ，且这个式子就是目标函数对各个参数求偏导数的结果，即KKT的第一个条件：目标函数对各个参数的导数为0

八、分类讨论约束条件和拉格朗日乘子的组合（条件三）

对于KKT条件三，可以看出，因为所有的约束函数gi(x)<=0，所有的拉格朗日乘子αi>=0，要使得求和后结果为0，要么某个约束函数gi(x)=0，要么其对应的αi=0

从一个案例出发来分析KKT条件三的逻辑，假设目标函数和约束函数是

将不等式约束构造出拉格朗日函数，并分别对x1和x2求偏导数

而KKT的条件三要求最优解满足 ∑α*g(x) = 0，在这个案例里α和g(x)只有一个，结合条件一，可以得到

根据之前的分析，最优值满足条件三的话，要么α=0，要么g(x)=0

（i）：如果α=0，则x1=1，x2=-2，代入g(x1,x2) =10-1-10*(-2)=29>0，发现这组解违背了约束函数g(x)<0，则舍弃这组解

（ii）: 如果g(x1,x2)=0，则代入x1和x2的表达式到g(x)中，解出α=58/101>0，发现这组解不违背约束函数，则代入α解出x1=130/101，x2=88/101，则这组解有可能是最优解

综上(i)(ii)讨论，目标函数的最优值符合KKT条件三，也说明了 满足强对偶条件的优化问题的最优值必须满足KKT条件

九、求解对偶问题

上面分析了目标函数满足凸优化和KKT条件，则问题转化为求解原问题的对偶问题（即p*=d*）

根据对偶问题描述，先要求内侧w和b关于L(w,b,α)的最小化值，即求L对w和b的偏导数

将w和b的偏导数带入拉格朗函数化简得

整理一下最终化简结果为

从上述结果可以看出，样本的x和y是已知的，此时的 L(w,b,α)函数只有一个变量，即αi

我们归纳一下现在的目标函数为

现在目标函数变成了如上形式，其中αi>=0，这里隐含着一个假设，即数据100%线性可分，但是现实生活中，数据往往是不会那么规则的线性化，为此我们需要引入松弛变量

十、引入松弛变量

由于现实世界中的数据都是带有噪音的，也就是数据可能出偏离其正常的位置很远，而出现这种极端现象后往往会影响超平面的选择，也许将无法构造出将数据彻底分开的超平面出来

所以对于处理这种情况， SVM需要允许（妥协）出某些噪音很大的数据点能够偏离超平面，即允许其出现在超平面的错误的一侧 ，为此我们引入松弛变量C，这样我们的目标函数又变为

接下来为了研究讨论αi的取值范围，我们加上一个负号将目标函数等价转化为

十一、讨论拉格朗乘子的取值意义和其值域

回顾一下最初的约束条件为

设ui为该约束条件，可以归纳出αi关于约束函数的取值意义

αi只有满足上述3种情况，才能求出最优解，所以 当αi与约束条件ui冲突的时候，需要更新这些αi ，这也就是满足目标函数的第一个约束限制，即0<=αi<=C

而同时目标函数还受到第二个约束条件的限制，即

所以不能只更新一个αi因子，需要同时再次更新第二个αj因子，也就是 α因子总是成对的更新（αi对总是和αj配对），一增一减，此消彼长，才能保证加权和为0的约束 ，同时这也就是下面提及SMO算法的思想和多元函数化简为二元函数，在从二元函数化简为一元函数的难点

根据这个约束和α因子需要成对更新，假设我们选取的两个拉格朗乘子为α1和α2，则更新之前是old，更新之后是new，且更新前后需要满足和为0的约束

两个因子同时更新显然非常困难，所以需要先求出第一个αj的解，再用αj的解去表示更新第二个αi的解 ，后文的SMO算法会阐述这一点。因此需要先确定αj的取值范围，假设L和H分别为它的下界和上界，结合目标函数的约束限制来综合讨论L和H的取值关系

（i）：当y1和y2异号时，可以得到

移项可得a2 = a1 - A，此时α的取值范围如下图所示

所以此时α的上下界H和L为

（ii）：当y1和y2同号时，可以得到

移项可得a2 = -a1 + A，此时α的取值范围如下图所示

所以此时α的上下界H和L为

综上(i)(ii)的讨论，通过y1和y2的异号或者同号，可以推导出α更新后的上下界分别为

这个公式显得非常的重要，它将α因子限制在有效的矩形范围内，在SMO算法中，当我们更新完α后，由于α可能会被更新得很大或很小，因此需要经过裁剪来保证α的在约束条件内

12、SMO算法的思想

回顾之前第九，第十，第十一步的分析，目标函数为

目标函数只包含n个变量α的 多元函数 ，且带有两个约束条件，我们的 目的是求出目标函数的最小值，即找到一组α的组合，使得目标函数取得最小值

由第十一步的分析，我们需要不断更新这n个α因子，通过迭代来逼近函数达到最小值，但是如果一次性更新n个参数，将会有n!种组合，那么时间复杂度将会非常高，为此我们首先想到 坐标上升（下降）法

来通过一个例子来说明坐标上升法的思路

可知案例中要求一个三元函数的最大值， 算法的思想是每次迭代时只更新一个维度，通过多次迭代直到收敛来优化函数的最值 ，求出三个变量的偏导数推出其关系

通过迭代即就可以求出其最值

SMO算法借鉴了坐标上升（下降）法的思想来优化α因子组合，但是由于目标函数的第二个约束条件有加权和为0的限制，导致每次迭代时候不能只更新一个因子αi，必须同时更新与之配对的另一个因子αj，此消彼长才能保证加权和为0（第十一步中已提及）

所以SMO算法思想是将原始问题中，求解n个参数的二次规划问题，分解成了多个子二次规划问题来分别求解，每一个子问题只需要求解2个参数，即将多元函数推导为二元函数，再将二元函数推导为一元函数

13、多元函数推导为二元函数

目标函数是关于α的N元函数，通过SMO的算法思想，假设每次迭代更新，选取一对α1和α2的组合，其余的乘子不变， 首先需要将α1和α2从目标函数中分离出来 ，也就是将多元函数推导为二元函数

从N元函数中分离出α1和α2因子

由于上式推导结果过于复杂，我们定义2个表达式来表示上式常量部分，用来简化上式

又由于单独存下的常数项对以后的求导没有贡献，所以我们提出单独的常数项定义为Constant

带入vi和Constant表达式，则结果化简为

至此，我们将 多元函数推导为含有α1和α2变量的二元函数 ，接下来将这个二元函数推导为一元函数

14、二元函数推导为一元函数

我们需要推导出α1和α2的关系，然后用α2来表示α1带入二元函数，就可以推导出关于α2的一元函数了

由目标函数的第二个约束条件

同理根据SMO算法思想，从约束条件中分离出α1和α2

将等式两边同时乘以y1，可推导出α1和α2的关系

同理，我们定义两个表达式r和s来表示上式的常量部分，用来简化上式关系

带入r和s后，α1和α2的关系推导为

下面将α1带入我们的二元函数中，可得

至此， 我们将二元函数推导为只含有一个变量α2的一元函数 ，接下来终于可以对目标函数求导了

15、求解一元函数的偏导数，推导出第一个拉格朗乘子的递推关系

我们对一元函数求α2的偏导数为0

带入s=y1*y2和y2*y2=1，整理上式可求出α2