Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c属于R）满足下列条件：①当x属于R时，f（x）的最小值为0

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c属于R）满足下列条件：
①当x属于R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）成立；
②当x属于（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立。
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x属于[1,m]时，就有f（x+t）≤x成立

Answer 1

由条件1可得，a>0,将f(x-1)=f(-x-1)代入可得b=2a,再将最小值是0代入f(x)=ax^2+2ax+c,可得c=a,即f(x)=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2.
由条件2可得，当x=1时，1<=f(1)<=1,即f(1)=1；
将f(1)=1代入f(x)=a(X+1)^2得a=1/4,即f(x)=1/4(x+1)^2；
第三问可看作是将曲线左右移动，可得当t=-1时，可得最大实数m=4.

追问

第三问要详细的过程，像这样的话考试中是不得分的

追答

(3)

又(x+1)^2/4-x=(x-1)^2/4>=0
因此（x+1)^2/4>=x
显然，x属于[1,m]时，是单调递增区间，要使x属于[1,m]时，都有f(x+t)(x+t+1)^2/4=x
=>x^2+2(t-1)x+(t+1)^2=0 (a)
又曲线通过(1，1）点，因此1是它的一个解
=》1+2(t-1)+(t+1)^2=0
=>t=-4
将t=-4代入（a)
=>x^2-10x+9=0
=>x1=1,x2=9
因此m=x2=9
因此这个最大的实数m的值为9

参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/326918010.html?an=0&si=9

Answer 2

好难