Question

高二数学椭圆解析几何题

如图所示，已知以原点O为中心，线段AB为长轴，焦点在x轴上的椭圆离心率为1/3。y 轴下方的点C在以AB为直径的圆上。直线AC，BC分别交一斜率为2√2（图片中这个数据错了）的直线于D，E两点，|DE|=2，且E点的纵坐标为-√2/3。
（1）在|AB|的长度变化的过程中，线段DE的中点F是否会落在同一条直线上？如果是，求出这条直线的解析式。如果不是，说明理由。
（2）若过点C且垂直于x轴的直线截椭圆所得的弦长为16/9，求点C的纵坐标。
（3）在（2）的条件下，求椭圆的方程。

Answer 1

第一问倒是简单，重新画图：
过D做水平线DM过E做 EM垂直DM于M有直角三角形EDM
其中tan∠EDM=(9√2)/4 |ED|=2
解直角三角形EDM得 |EM|=18/√89
又因为E纵坐标为-√2/3
则DE中点F纵坐标为9/√89-√2/3
即F所在直线方程为y=9/√89-√2/3

就凭这结果 这题一定给错数了 高考没这么复杂的数 89是质数
后面的问就别算了 对考试没用 对学习也没用 多做两道别的题吧！

追问

不好意思，那个斜率应该是2√2

追答

好吧 好几天没上百度知道了 你这个还没人答
第一问同理 把数改改就行了 知道问的都是好孩子 你应该能懂原理
结果直线y=-√2

第二问也简单：
因为e=1/3
设a=3c b=2√2c
椭圆方程：x^2/(9c^2)+y^2/8c^2=1…………（1）
设弦与椭圆交点为M 与x轴交点N
由弦长为16/9得 纵坐标y(M)=-8/9
带入（1）中得：横坐标x（M，C）=√（9c^2-8/9）
解直角三角形CNO得 |CM|=2√2/3
所以C纵坐标为：y（C）=-2√2/3 （x轴上面还有一个 因为斜率2√2直线的问题舍掉了）

第三问没发现简单方法 倒是发现题的错误了
第三问已知是 原题+第二问
经过两问后已知条件： “直线AC，BC分别交一斜率为2√2的直线于D，E两点，|DE|=2，且E点的纵坐标为-√2/3。”变成“在|AB|的长度变化的过程中，线段DE的中点F会落在同一条直线上”； “过点C且垂直于x轴的直线截椭圆所得的弦长为16/9”变成“y（C）=-2√2/3“
变简单了
当然 这也是前两问的目的
然后：
设F（m，-√2）
则C点在圆x^2+y^2=9c^2 和 圆(x-m)^2+(y+√2)^2=1 交点上
联立 再把C(√（9c^2-8/9）,-2√2/3)带入 得
√（9c^2-8/9）-m+√7/3=0 显然c与m有关
可是m在第一问里已经知道是不确定的了（否则不会是直线 而是一个点）
所以c也确定不了 椭圆方程自然求不了了

总之好像少一个条件 你再能找出一个条件 或者 某条件的特殊性没使用的地方
然后用你找的条件和√（9c^2-8/9）-m+√7/3=0 联立（或者你怕错的话就和圆x^2+y^2=9c^2 和 圆(x-m)^2+(y+√2)^2=1 联立 再把C带入） 就能求出c了 a=3c b=2√2c
椭圆也就解开了

追问

后来第三问我自己做出来了：过C作AB的垂线交AB于F。因为圆C，所以AC和BC的斜率之积是定值可以算出，而AF*BF=CF^2也知道，所以AF和BF可以很方便求出来，AB也就求出来了，椭圆方程得解。

Answer 2

什么看不清 设x^2/a^2+y^2/b^2=1,A(x1,y1),B(x2,y2) OA（向量）+OB（向量）=OC（向量）. 那么C(x1+x2,y1+y2) 而AB:y=(x-c)联立椭圆有