Question

已知数列满足（an) : a1=2, 且an+1=2(n+1)an /an+n (n属于N*)

1）求证：数列(n/an--1)为等比数列，并求数列（an)的通项公式；
2） 证明：a1+a2/2+a3/3 +......+an/n <n+2,n属于N*

Answer 1

1、由a(n+1)=2(n+1)an/(an+n)，取倒数得(n+1)/a(n+1)=(an+n)/(2an)，于是(n+1)/a(n+1)－1=(n－an)/(2an)＝1/2(n/an－1)，故n/an－1是以1/a1－1＝－1/2为首项，以1/2为公比的等比数列，因此n/an－1＝－1/2*(1/2)^(n-1)＝－(1/2)^n，故an＝n/(1－(1/2)^n)。
2、an/n=1/(1－(1/2)^n)＝2^n/(2^n－1）＝1+1/(2^n－1)<1+1/2^(n－1)，因此a1+a2/2+...+an/n<n+1+1/2+1/4+....+1/2^(n－1)<n+2。