Question

已知函数f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值

答案当中
因为y=2x²+ax+b/ x²+1，所以（y-2）x²-ax+y-b=0

（1）当y-2≠0时
因为x∈R，Δ≥0，即a²-4(y-b)(y-2)≥0
而4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
又因为1≤y≤3
所以1,3是关于y=方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的两根
由根与系数的关系，得
b+2=4
(8b-a²)/4=3

解得
a=±2
b=2

（2）当y=2时ax+b=2，当a=2，b=2；或a=-2，b=2时，x=0满足题意
所以a=±2，b=2

对于这道题我有几点不明白的地方
第一
函数y=2x²+ax+b/ x²+1
（y-2）x²-ax+y-b=0
和方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
他们之间的关系，感觉乱糟糟的，条理不太清晰，最好能从图像的角度讲一下

第二
函数转换成方程之后，x∈R，Δ≥0
这地方理解不了
我想的是，“任取x都能使函数成立，然后得到的结果就是属于值域中的一个值
而Δ≥0求的是存在这样的x使得方程成立，可是成立之后的y值不一定属于值域[1，3]

第三
接着又用Δ≥0得到的式子去套韦达定理
韦达定理的根是（y-2）x²-ax+y-b=0的根吧?
不是4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的根吧？

第四，也是很重要的问题
为什么分类讨论
而分类讨论之后y=2时。a=±2.b=2.x=0怎么就满足题意了？
x等于几都行？只要x不无解就满足？

既然是分类讨论。为什么第二个分类变成了验算第一个分类的了？
按理来说应该一个分类求出来一个区域，然后这两个区域取并集才对啊
如果第二个分类正确的话，应该是能解出一些值的
虽然只有一个式子ax+b=2应该解不出a，b

总之这题感觉乱哄哄的，最好能从图像的角度辅助讲解一下

Answer 1

函数y=(2x²+ax+b)/ (x²+1)
与(y-2）x²-ax+y-b=0的关系：
函数是一种对应关系，由x可求y，
反之所有值域中的y都可以反求定
义域中的x。本题函数的定义域为
R，凡是能反解出实数x的y值都在
值域中，不能解出实数x的系数y
(暂且交y吧)则不是函数值。
所以函数值域既是能使方程
(y-2）x²-ax+y-b=0 （#）
有实数解的y的集合。
当y-2=0时（#）不是二次方程，
最后单独验证（#）是否有解
当y-2≠0时（#）是二次方程，
其有解条件是Δ≥0
于是得到
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0(*)
∵值域是[1,3],(这里y≠2)
∴(*)的解集一定为[1,3](这里y≠2)
【若(*)的解集超出[1,3]的范围，
说明在[1,3]之外还有函数值，
就矛盾了。】
因此1,3是方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
的根，用韦达求出a,b
接下来
∵y=2∈[1,3], y=2时，（#）必需有解
【还是那句话既是函数值都得反解出实
数x，实数x都能算出【1，3】内的函数值】
此时由 y=2得到.x=0说明2是函数值,
y=2是由x=0算出来的。
即a=±2，b=2这组值确实能够是函数的值
域为【1，3】
本题采用求值域的方法叫做判别式法，
其理论根据是函数的概念，你要加强对
函数概念的理解，而不是利用图像
理解本问题。本题还可以用导数解决。
希望对你有所帮助！欢迎追问。

追问

凡是能反解出实数x的y值都在
值域中，不能解出实数x的系数y
(暂且交y吧)则不是函数值。
所以函数值域既是能使方程

首先这里不明白
反解是什么，怎么反解
怎么才算“不能解出实数x的系数y”
如果我没理解错，值域中的y，比如这题是【1，3】。代入1，3和13之间任何数得到一个范围
也就是是x的范围，R对吧？
那不能解出x的y是什么？是小于1大于3的那些？
感觉反解函数，应该还是函数
比如y=2x
反过来应该是x=y/2，为什么会是个方程

追答

函数主要是由x求y
将y看成是已知，求自变量x的过程叫做反解

代入1，3和13之间任何1个y的值只能得到1个
或2个具体的x值，而不会是R
y取遍[1,3]中的所有值后，求出的x值才会是R
原函数的对应关系x∈R--->y∈[1,3] 法则是解析式
y是由x求出来的，每一个y都可以回过头找出
它所对的x.
只有[1,3]中的值是由实数x通过函数对应关系
是算出来的，[1,3]之外的值不是函数值。
如让y=0，
(2x²+ax+b)/ (x²+1)=0，这个方程必须无解
因为它一旦有解x'，说明实数x'对应0，
说明0在值域里面，矛盾了。
函数y=2x 的定义域为R
由x可以算y，值域中的y可以回到一个x
方程x=y/2不论y为何值都有解，说明值域为R

再举1例：
y=sinx
y=1时，sinx=1,有解，说明1是函数值
y=sinx，x∈(0,π/2)
y=1/2时，sinx=1/2, 解出x=π/6,1/2是函数值
y=-1/2时，解不出x，说明-1/2不是函数值

y=(2x-1)/(x-1)的值域
y=(2x-1)/(x-1)
y(x-1)=2x-1
使 方程 (y-2)x=y-1 有解的y的范围是值域
y=2时，0*x=1，x无解，则值域中不含2
y≠2时，可解出唯一实数解x=(y-1)/(y-2) （这只是一个解）
所以值域为y∈R,且 y≠2

例：求y=(2x²+2x+2)/ (x²+1)的值域
函数定义域为R
y=(2x²+2x+2)/ (x²+1)(y-2)x^2-2x+y-2=0 (#)
函数值域既是使（#）有实数解的y的集合
y=2时，（#）即x=0,符合题意
y≠2时，（#）是一元二次方程，有实数解得条件为
Δ=4-4（y-2)^2≥0==>1≤y≤3,y≠2
综上所述，函数值域为【1，3】
在下面图中，y=k和图像有公共点时，k才是函数值
要求1≤k≤3,只有【1，3】之间的值，才能回头与实
数x对应.
本题还可以用其他方法做，比如，换元，利用均值定理
或者求导，但是函数的概念必须理解到位，否则用其他
方法也就失去了基础。

Answer 2

如果你是高三的我可以教你另一种更容易理解的方法导数法

Answer 3

a=+2 b=2

Answer 4

e

Answer 5

a

Answer 6

腰三