Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c属于R）

求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。
答案中，|A1B1|^2＝|x1－x2|^2，
由方程f(x)=g(x)，得 ax^2＋2bx＋c＝0
知 |A1B1|^2=(4(a^2+c^2+ac)/(a^2)=4[(c/a)^2+(c/a)+1] 为什么(A1B1)的绝对值^2=后面的式子？

Answer 1

A、B是两曲线的交点，x1、y1是其横坐标，
则射影A1、B1的横坐标的差的绝对值即为AB的横向距离，也就是 A1B1 的长。
所以 有 |A1B1|=|x2-x1| 。
而 x1、x2 是方程 ax^2+2bx+c=0 的两个实根，
所以有 x1+x2=-2b/a，x1*x2=c/a ，
因此 |A1B1|^2=|x2-x1|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(-2b/a)^2-4c/a ，
再利用已知条件，将 b=-a-c 代入化简就出来了。