Question

已知椭圆X^2/5+Y^2=1，斜率存在的直线L过椭圆焦点且交椭圆于AB两点，已知M（1,0） 若(向量MA+向量MB)

垂直于向量AB，求直线l的方程

Answer 1

设A、B两点为：(x1,y1)、(x2,y2)，由x²+5y²=5，代入x2和x1相减得：(y2)²-(y1)²=-[(x2)²-(x1)²]/5，向量AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)，向量MA=OA-OM=(x1-1,y1)，向量MB=OB-OM=(x2-1，y2)，向量MA+向量MB=(x1+x2-2，y1+y2)，(向量MA+向量MB)垂直于向量AB，(x1+x2-2)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0，4[(x2)²-(x1)²]/5-2(x2-x1)=0，∵x2≠x1，∴x1+x2=5/2，当直线L过椭圆右焦点(2,0)时，设直线L为：y=kx-2k，与椭圆x²+5y²=5联立得：x1+x2=20k²/(1+5k²)，20k²/(1+5k²)=5/2，k=±√3/3，当直线L过椭圆右焦点(-2,0)时，设直线L为：y=kx+2k，与椭圆x²+5y²=5联立得：x1+x2=-20k²/(1+5k²)，-20k²/(1+5k²)=5/2，k²=-1/13(舍去)，则直线L过椭圆右焦点，直线l的方程：y=±√3(x-2)/3。