Question

已知函数f(x)=ln(e^x+a)(a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数。

（1）求实数λ取值的集合A（2）若g(x)≤t^2+λt+1在x∈[-1,1],λ∈A上恒成立，求实数t的取值范围（3）讨论关于x的方程lnx=f(x)(x^2-2ex+m)的根的个数 求详解，要解题过程，谢谢

Answer 1

第一问，带入x=0得a=0,故g(x)=λx+sinx
g'(x)=λ+cosx<=0在[-1,1]上恒成立
故λ<=-1，再写成集合即可

第二问，也是恒成立问题，g(-1)≤t^2+λt+1恒成立 利用判别式结合λ范围即可

第三问，分离变量m=lnx/x-x^2+2e^x,设为d(x),利用求导分析草图即可

Answer 2

解：（1）∵函数f（x）=ln（ex+a）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0所以a=0．
（2）g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立∴λ≤-cosx．
又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．
g（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（x）max=g（-1）=-λ-sin1．
只需-λ-sin1≤t2+λt+1．∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0. &其中λ≤-1 恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1，
则 t+1≤0 -t-1+t2+sin1+1≥0. ∴ t≤-1 t2-t+sin1≥0. 而t2-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．
（3）设h(x)=lnx/x g(x)=x^2-2ex+m 求导求出函数h(x)的单调性画出简图 画出g(x)的简图可知m-e^2>1/e无根 m-e^2=1/e1根 m-e^2<1/e2根

Answer 3

好烦啊